Cicerone y Di Stefano definieron y estudiaron la clase de grafos hereditarios por distancia, es decir, grafos donde la distancia en cada subgrafo inducido conectado es a lo sumo veces la distancia en todo el grafo. Los grafos definidos representan una generalización de los conocidos grafos hereditarios por distancia, que en realidad corresponden a grafos hereditarios por distancia 1. En este artículo avanzamos en el estudio de estos nuevos grafos proporcionando caracterizaciones para la clase de todos los grafos hereditarios por distancia tales que. Las nuevas caracterizaciones se dan en términos de subgrafos prohibidos y propiedades de ciclo-cuerda. Estos resultados también conducen a idear un algoritmo de reconocimiento en tiempo polinómico para este tipo de grafo que, de acuerdo con las caracterizaciones proporcionadas, simplemente detecta la presencia de cuasi-agujeros en cualquier grafo dado.